Variables aléatoires indépendantes \(X_1,\dots,X_n\)
Variable aléatoires telles que \(\sigma(X_1),\dots,\sigma(X_n)\) forme une Famille de tribus indépendantes.

• cela équivaut à $$\forall F_1\in\mathcal E_1,\dots,\forall F_n\in\mathcal E_n,\quad {\Bbb P}(\{X_1\in F_1\}\cap\dots\cap\{X_n\in F_n\})=\prod_{i=1}^n{\Bbb P}(X_i\in F_i)$$
• caractérisation : la loi de \((X_1,\dots,X_n)\) est donnée par la Mesure produit \({\Bbb P}_{X_1}\otimes\dots\otimes{\Bbb P}_{X_n}\)
    
• conséquence : pour toute Fonction mesurables \(f_j:E_j\to{\Bbb R}_+\), $${\Bbb E}\left[\prod_{j=1}^n f_j(X_j)\right]=\prod^n_{j=1}{\Bbb E}[f_j(X_j)]$$
        
• en particulier, si \(X_1,\dots,X_n\in L^1\) sont indépendants, alors \(X_1\dots X_n\in L^1\) et \({\Bbb E}[X_1\dots X_n]={\Bbb E}[X_1]\dots{\Bbb E}[X_n]\)
        
• cette caractérisation marche aussi avec des fonctions continues à support compact, pour des v.a. Réelles
• si \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendants et si chaque \(X_j\) a pour Densité \(p_j\), alors \((X_1,\dots,X_n)\) a pour densité \(p(x_1,\dots,x_n)=\prod^n_{j=1}p_j(x_j)\)
    
• inversement, si \((X_1,\dots,X_n)\) a une densité de la forme \(p(x_1,\dots,x_n)=\prod^n_{j=1}q_j(x_j)\), alors \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendants et leurs densités sont de la forme \(p_j(x_j)=Cq_j(x_j)\), avec \(C\gt 0\)
• la définition peut être étendu à une famille infinie de v.a. En regardant la propriété sur les sous-familles finies
• caractérisation via les Espérance conditionnelles : \(\forall g:{\Bbb R}\to{\Bbb R}_+\), \({\Bbb E}[g(X)|Y]={\Bbb E}[g(X)]\)

Questions de cours

Montrer que \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendantes si et seulement si la loi de \((X_1,\dots,X_n)\) est donnée par la Mesure produit \({\Bbb P}_{X_1}\otimes\dots\otimes{\Bbb P}_{X_n}\).

\(\implies\) : On a l'égalité des deux lois.

D'après le Lemme de classe monotone, les lois sont donc les mêmes.

\(\impliedby\) : La formule de l'indépendance est directement donnée par la définition de Mesure produit.

Montrer que si \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendantes, alors pour toute Fonction mesurables \(f_j:E_j\to{\Bbb R}_+\), $${\Bbb E}\left[\prod_{j=1}^n f_j(X_j)\right]=\prod^n_{j=1}{\Bbb E}[f_j(X_j)].$$

Réécrire le premier terme sous forme intégrale.

Remplacer la loi conjointe par un produit des lois marginales.

Utiliser le Théorème de Fubini pour faire permuter \(\prod\) et \(\int\), et conclure.

Montrer que si \(X_1,\dots,X_n\) sont indépendants et si chaque \(X_j\) a pour Densité \(p_j\), alors \((X_1,\dots,X_n)\) a pour densité \(p(x_1,\dots,x_n)=\prod^n_{j=1}p_j(x_j)\).

Cela vient directement par indépendance.

Soit \(U\sim\mathcal Exp(1)\) et \(V\sim\mathcal{Unif}([0,1])\).
Montrer que \(X=\sqrt U\cos(2\pi v)\) et \(Y\sim\sqrt U\sin(2\pi V)\) sont indépendantes.

Ecrire l'espérance de l'image par une fonction mesurable.

Faire des changements de variable astucieux pour avoir des coordonnées polaires.

La densité du couple est le produit des densités, donc les variables aléatoires sont bien indépendantes.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto:

Donner un contre-exemple.
Verso:

Bonus:
Carte inversée ?:
END